Question

設(shè)集合A=[1，b]（b＞1），f （x）=

1

2

（x-1）²+1 （x∈A），若f （x）的值域也為A，則b的值是

 

Answer 1

分析：由函數(shù)解析式求出對(duì)稱軸x=1，判斷在定義域上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的值域確定函數(shù)取最大值時(shí)的自變量的值，代入解析式求出b的值，注意驗(yàn)證范圍．

解答：解：由題意知，函數(shù)f （x）=

1

2

（x-1）²+1 （x∈A），則對(duì)稱軸x=1，
∴函數(shù)在定義域A=[1，b]上是增函數(shù)，
∵f （x）的值域也為A，∴

1

2

（b-1）²+1=b，即b²-4b+3=0，
解得b=1或b=3，因b＞1，故b=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的值域問(wèn)題，即根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出單調(diào)性并列出關(guān)于最大值的方程，進(jìn)行求解注意驗(yàn)證范圍．