Question

設(shè)數(shù)列、滿足，，，．

（1）證明：，（）；

（2）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1），兩式相乘得，為常數(shù)列，； ；

（2）；（3）由可以知道，，

．又，故，

所以．

【解析】

試題分析：（1），兩式相乘得，為常數(shù)列，；（2分）

；

（若，則，從而可得為常數(shù)列與矛盾）；     4分

（2），

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032210021212503585/SYS201303221002575781176563_DA.files/image023.png">，為等比數(shù)列，       8分

（3）由可以知道，，

令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，很顯然只要證明，

．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032210021212503585/SYS201303221002575781176563_DA.files/image027.png">，

所以

所以．       14分

又，故，

所以．            16分

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用；數(shù)列通項(xiàng)公式的求法；數(shù)列前n項(xiàng)和的求法；數(shù)列的遞推式。

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明和數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考重點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．