Question

【題目】已知橢圓C：（0＜b＜2）的離心率為，F為橢圓的右焦點(diǎn)，PQ為過(guò)中心O的弦．

（1）求面積的最大值；

（2）動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，證明：在第一象限內(nèi)存在定點(diǎn)M，使得當(dāng)直線AM與直線BM的斜率均存在時(shí)，其斜率之和是與t無(wú)關(guān)的常數(shù)，并求出所有滿足條件的定點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），（2）證明見詳解，定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【解析】

（1）先由條件得出，，然后的面積等于和的面積之和，設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，，然后即可分析出答案

（2）設(shè)，將代入得，則有，然后可推出，當(dāng)，時(shí)斜率的和恒為0，然后解出即可.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則

由得，所以

又由的面積等于和的面積之和，

設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，由是過(guò)橢圓的中心的弦，則點(diǎn)到軸的距離也為

所以和的面積相等，所以

因?yàn)?/span>的最大值為，所以的最大面積為

（2）由（1）知橢圓

設(shè)

將代入得

則有

直線AM與直線BM的斜率之和：

為與無(wú)關(guān)的常數(shù)，可知當(dāng)，時(shí)斜率的和恒為0，

解得或（舍）

綜上所述：所有滿足條件的定點(diǎn)的坐標(biāo)為