Question

(21)已知數(shù)列{x_n}、{y_n}滿足x₁=x₂=1，y₁=y₂=2，并且 (為非零參數(shù)，n=2，3，4，…)．

(Ⅰ)若x₁、x₃、x₅成等比數(shù)列，求參數(shù)的值；

 

(Ⅱ)當(dāng)＞0時(shí)，證明 (n∈N^*)；

 

(Ⅲ)當(dāng)＞1時(shí)，證明＜(n∈N^*).

Answer 1

本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系為載體，主要考查等比數(shù)列的等比中項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式、不等式的性質(zhì)及證明等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力和推理論證能力.

（Ⅰ）解：由已知x₁=x₂=1,且

         

若x₁、x₃、x₅成等比數(shù)列，則 =x₁x₅,即²=⁶.而≠0，解得=±1.

 

(Ⅱ)證明：由已知，＞0，x₁=x₂=1及y₁=y₂=2，可得x_n＞0,y_n＞0.由不等式的性質(zhì)，有

 

≥≥²≥…≥^n-1=^n-1。

 

另一方面，

 

因此，（n∈N^*）.故

 

（n∈N^*）.

 

（Ⅲ）證明：當(dāng)＞1時(shí)，由（Ⅱ）可知y_n＞x_n≥1（n∈N^*）。

 

又由（Ⅱ）（n∈N^*），則

，

 

從而=^n-1（n∈N^*）.因此

 

 

≤1+＜.