Question

(2007遼寧，21)已知數(shù)列、與函數(shù)f(x)、g(x)，xR滿足條件：，．

(1)若f(x)=tx＋1(t≠0，t≠2)，g(x)=2x，f(b)≠g(b)，且存在，求t的取值范圍，并求(用t表示)；

(2)若函數(shù)y=f(x)為R上的增函數(shù)，，b=1，f(1)＜1，證明對任意的，．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)解法一：由題設(shè)知得．又已知t≠2，可得． 由f(b)≠g(b)，t≠2，t≠0，可知， 所以是等比數(shù)列，其首項為， 公比為．于是， 即．又存在，可得 所以－2＜t＜2且t≠0．． 解法二：由題設(shè)知， 且t≠2，可得． 由f(b)≠g(b)，t≠2，t≠0，可知，，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列． ， 即． 由可知，若存在，則存在． 于是可得所以－2＜t＜2且t≠0． ． 解法三：由題設(shè)知，即 ，　　　　　　　　　① ，　　　　　　　�、� ②－①得， 令，得． 由f(b)≠g(b)，t≠2，t≠0可得，，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列． 于是， ． 又存在，可得 所以－2＜t＜2且t≠0． ． 說明：數(shù)列通項公式的求法和結(jié)果的表達(dá)形式均不唯一，其他過程和結(jié)果參照以上評分標(biāo)準(zhǔn)． (2)證明：因為， 所以，即． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng)n=1時，由f(x)為增函數(shù)， 且f(1)＜1，得， ，， 即，結(jié)論成立． ②假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即． 由f(x)為增函數(shù)，得，即， 進(jìn)而得，即． 這就是說當(dāng)n=k＋1時，結(jié)論也成立． 根據(jù)①和②可知，對任意的，．

提示：

剖析：本題主要考查數(shù)列的定義、數(shù)列的遞推公式、等比數(shù)列、函數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運用數(shù)學(xué)歸納法解決問題的能力．