Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=lg

x

x2+1

，有下列結(jié)論：①函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）；②函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；③函數(shù)f（x）的最小值為-lg2；④當(dāng)0＜x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）是減函數(shù)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（　　）

• A、①②③
• B、①③④
• C、①④
• D、②③

Answer 1

分析：①函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），求出定義域驗(yàn)證；②函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷；③函數(shù)f（x）的最小值為-lg2，利用基本不等式與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出最值；④當(dāng)0＜x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）是減函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，解出單調(diào)區(qū)間，驗(yàn)證即可．

解答：解：①函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），令

x

x2+1

＞0，解得x＞0，故定義域是（0，+∞），命題正確；
②函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，由①知，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是奇函數(shù)，命題不正確；
③函數(shù)f（x）的最小值為-lg2，不正確，因?yàn)?span id="y2mgd67" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(x)=lg

x

x2+1

=lg

1

x+ 1 x

≤lg

1

2

=-lg2，最大值是-lg2，故命題不正確；
④當(dāng)0＜x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）是減函數(shù)，命題正確，因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f′(x)=lg

1-x2

(x2+1)2

，令導(dǎo)數(shù)大于0，可解得0＜x＜1，令導(dǎo)數(shù)大于0，得x＞1，故命題正確．
綜上，①④正確
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)解題的關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì)，且能熟練利用這些性質(zhì)對(duì)四個(gè)命題作出判斷，本題考查了推理論證的能力以及計(jì)算論證的能力．