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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          【題目】已知函數
          (1)當a=1時,判斷f(x)的單調性;
          (2)若f(x)在[0,+∞)上為單調增函數,求實數a的取值范圍.

          【答案】
          (1)解:當a=1時,f'(x)= ,f(x)在定義域 (﹣1,+∞)

          ∴f'(x)在(﹣1,0)上為減函數,在 (0,+∞)上為增函數,

          ∴函數的減區(qū)間為(﹣1,0),增區(qū)間為(0,+∞)


          (2)解:①當a≥1時,由于x∈[0,+∞),

          ,

          所以滿足f(x)在[0,+∞)上為單調增函數,即a≥1;

          ②當0<a<1時,f'(x)=aln(x+1)+ +ax﹣2,

          f'(x)= ,由方程ax2+3ax+2a﹣2=0的判別式:

          △=a2+8a>0,所以方程有兩根x1,x2,且由 ,

          ∴x1<0<x2,

          ∴f'(x)在[0,x2]上為減函數,由f'(0)=0可知,在x∈[0,x2]時,f'(x)<0,

          這與 f(x)在[0,+∞)上為單調增函數相矛盾.

          ③當a≤0時,∵ ,

          ∴f″(x)= <0,

          ∴f'(x)在[0,+∞)上為減函數,由f'(0)=0可知,

          在x∈(0,+∞)時,f'(x)<0,

          這與 f(x)在[0,+∞)上為單調增函數也是相矛盾,

          綜上所述:實數a的取值范圍是[0,+∞)


          【解析】(1)求出函數的導數,解關于導函數的不等式,求出函數的單調區(qū)間即可;(2)通過討論a的范圍,求出函數的導數,得到函數的單調區(qū)間,從而確定a的范圍即可.
          【考點精析】認真審題,首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞減),還要掌握函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值)的相關知識才是答題的關鍵.

          練習冊系列答案
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