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        1. 設(shè)函數(shù)f(x)=x-1ex的定義域?yàn)椋?,+∞).
          (1)求函數(shù)f(x)在[m,m+1](m>0)上的最小值;
          (2)設(shè)函數(shù)數(shù)學(xué)公式,如果x1≠x2,且g(x1)=g(x2),證明:x1+x2>2.

          解:(1),則x>1時(shí),f′(x)>0;0<x<1時(shí),f′(x)<0.
          所以,函數(shù)f(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù).(2分)
          當(dāng)m≥1時(shí),函數(shù)f(x)在[m,m+1]上是增函數(shù),
          此時(shí)
          當(dāng)0<m<1時(shí),函數(shù)f(x)在[m,1]上是減函數(shù),在[1,m+1]上是增函數(shù),
          此時(shí)f(x)min=f(1)=e;(6分)
          (2)證明:
          考察函數(shù)g(x)=xe-x,g′(x)=(1-x)e-x
          所以g(x)在(-∞,1)內(nèi)是增函數(shù),在(1,+∞)內(nèi)是減函數(shù).(結(jié)論1)
          考察函數(shù)F(x)=g(x)-g(2-x),即F(x)=xe-x+(x-2)ex-2
          于是F'(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x
          當(dāng)x>1時(shí),2x-2>0,從而e2x-2-1>0,又e-x>0,所以F′(x)>0,從而函數(shù)F(x)在[1,+∞)是增函數(shù).
          又F(1)=e-1-e-1=0,所以x>1時(shí),有F(x)>F(1)=0,即g(x)>g(2-x).(結(jié)論2)(9分)
          若(x1-1)(x2-1)=0,由結(jié)論1及g(x1)=g(x2),得x1=x2=1,與x1≠x2矛盾;
          若(x1-1)(x2-1)>0,由結(jié)論1及g(x1)=g(x2),得x1=x2,與x1≠x2矛盾;(11分)
          若(x1-1)(x2-1)<0,不妨設(shè)x1<1,x2>1
          由結(jié)論2可知,g(x2)>g(2-x2),所以g(x1)=g(x2)>g(2-x2).
          因?yàn)閤2>1,所以2-x2<1,又由結(jié)論1可知函數(shù)g(x)在區(qū)間(-∞,1)內(nèi)是增函數(shù),
          所以x1>2-x2,即x1+x2>2.(15分)
          分析:(1)先求其導(dǎo)函數(shù),找到其增減區(qū)間即可求函數(shù)f(x)在[m,m+1](m>0)上的最小值;
          (2)先求出函數(shù)g(x)的增減區(qū)間,再利用題中要證的結(jié)論構(gòu)造新函數(shù)F(x)=g(x)-g(2-x),求出新函數(shù)F(x)=g(x)-g(2-x)的增減區(qū)間,把二者相結(jié)合即可證明結(jié)論.
          點(diǎn)評(píng):本題的第一問主要考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,比較基礎(chǔ),第二問就比較難,適合中上等學(xué)生來做.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
          (1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
          2
          ,求a的值;
          (2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
          2
          2
          ,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,若存在非零實(shí)數(shù)t,使得對(duì)于任意x∈C(C⊆A),有x+t∈A,且f(x+t)≤f(x),則稱f(x)為C上的t低調(diào)函數(shù).如果定義域?yàn)閇0,+∞)的函數(shù)f(x)=-|x-m2|+m2,且 f(x)為[0,+∞)上的10低調(diào)函數(shù),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  )
          A、[-5,5]
          B、[-
          5
          5
          ]
          C、[-
          10
          ,
          10
          ]
          D、[-
          5
          2
          ,
          5
          2
          ]

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設(shè)g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+2)=f(x)恒成立;當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x3-4x+3.有下列命題:
          f(-
          3
          4
          ) <f(
          15
          2
          )

          ②當(dāng)x∈[-1,0]時(shí)f(x)=x3+4x+3;
          ③f(x)(x≥0)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)無窮等差數(shù)列;
          ④關(guān)于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7個(gè)不同的根.
          其中真命題的個(gè)數(shù)為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:徐州模擬 題型:解答題

          設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
          (1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
          2
          ,求a的值;
          (2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
          2
          2
          ,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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