Question

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，離心率，為橢圓上任一點(diǎn)，且的最大面積為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓恒過原點(diǎn)，若實(shí)數(shù)滿足條件，求的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）橢圓的方程；（Ⅱ）的最大值為.

試題分析：（Ⅰ）依題意得：，這是一個(gè)關(guān)于的方程組，解這個(gè)方程組便可得的值，從而得橢圓的方程.
（Ⅱ）設(shè)，由于以為直徑的圓恒過原點(diǎn)，所以，即……………………………………………………①
設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得：、，代入①便得一個(gè)含的等式.
將變形化簡(jiǎn)得：.
因此，要求的最大值，只需求的最大值，而可以用含的式子表示出來，再利用前面含的等式換掉一個(gè)變量，得一個(gè)只含一個(gè)變量的式子，再利用求函數(shù)最值的方法，便可求出其最大值.
試題解析：（Ⅰ）依題意得：，解得：，
于是：橢圓的方程，
（Ⅱ）設(shè)直線的方程由得：，
設(shè)，則.
由于以為直徑的圓恒過原點(diǎn)，于是，即，
又，
于是：，即
依題意有：，即.
化簡(jiǎn)得：.
因此，要求的最大值，只需求的最大值，下面開始求的最大值：
.
點(diǎn)到直線的距離，于是：.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024239887703.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
代入得.
令，
于是：.
當(dāng)即，即時(shí)，取最大值，且最大值為.
于是：的最大值為.