已知橢圓

的左右焦點分別是

,離心率

,

為橢圓上任一點,且

的最大面積為

.
(Ⅰ)求橢圓

的方程;
(Ⅱ)設(shè)斜率為

的直線

交橢圓

于

兩點,且以

為直徑的圓恒過原點

,若實數(shù)

滿足條件

,求

的最大值.
試題分析:(Ⅰ)依題意得:

,這是一個關(guān)于

的方程組,解這個方程組便可得

的值,從而得橢圓

的方程.
(Ⅱ)設(shè)

,由于以

為直徑的圓恒過原點

,所以

,即

……………………………………………………①
設(shè)直線

的方程

,聯(lián)立方程組

,再由根與系數(shù)的關(guān)系可得:

、

,代入①便得一個含

的等式.
將

變形化簡得:

.
因此,要求

的最大值,只需求

的最大值,而

可以用含

的式子表示出來,再利用前面含

的等式換掉一個變量,得一個只含一個變量的式子,再利用求函數(shù)最值的方法,便可求出其最大值.
試題解析:(Ⅰ)依題意得:

,解得:

,
于是:橢圓

的方程

,
(Ⅱ)設(shè)直線

的方程

由

得:

,
設(shè)

,則

.
由于以

為直徑的圓恒過原點

,于是

,即

,
又

,
于是:

,即

依題意有:

,即

.
化簡得:

.
因此,要求

的最大值,只需求

的最大值,下面開始求

的最大值:


.
點

到直線

的距離

,于是:

.
又因為

,所以

,
代入得

.
令

,
于是:

.
當

即

,即

時,

取最大值,且最大值為

.
于是:

的最大值為

.
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知頂點在原點,焦點在

軸上的拋物線被直線

截得的弦長為

,求拋物線的方程.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)拋物線

的焦點為

,準線為

,

,以

為圓心的圓

與

相切于點

,

的縱坐標為

,

是圓

與

軸除

外的另一個交點.
(I)求拋物線

與圓

的方程;
(II)過

且斜率為

的直線

與

交于

兩點,求

的面積.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知拋物線

與雙曲線

有公共焦點

,點

是曲線

在第一象限的交點,且

.
(Ⅰ)求雙曲線

的方程;
(Ⅱ)以雙曲線

的另一焦點

為圓心的圓

與直線

相切,圓

:

.過點

作互相垂直且分別與圓

、圓

相交的直線

和

,設(shè)

被圓

截得的弦長為

,

被圓

截得的弦長為

,問:

是否為定值?如果是,請求出這個定值;如果不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓C長軸的兩個頂點為A(-2,0),B(2,0),且其離心率為

.

(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若N是直線x=2上不同于點B的任意一點,直線AN與橢圓C交于點Q,設(shè)直線QB與以NB為直徑的圓的一個交點為M(異于點B),求證:直線NM經(jīng)過定點.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
過拋物線

的焦點

的直線交拋物線于

兩點,點

是坐標原點,若

,則△

的面積為( )

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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
點

是雙曲線

與圓

的一個交點,且

,其中

分別為雙曲線C
1的左右焦點,則雙曲線

的離心率為( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(13分)已知橢圓C:

(a>b>0)的兩個焦點分別為F
1(﹣1,0),F(xiàn)
2(1,0),且橢圓C經(jīng)過點

.
(I)求橢圓C的離心率:
(II)設(shè)過點A(0,2)的直線l與橢圓C交于M,N兩點,點Q是線段MN上的點,且

,求點Q的軌跡方程.
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