Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C： (a＞b＞0)的一條準(zhǔn)線方程為x＝，離心率為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖，設(shè)A為橢圓的上頂點，過點A作兩條直線AM，AN，分別與橢圓C相交于M，N兩點，且直線MN垂直于x軸．

① 設(shè)直線AM，AN的斜率分別是k1， k2，求k1k2的值；

② 過M作直線l1⊥AM，過N作直線l2⊥AN，l1與l2相交于點Q．試問：點Q是否在一條定直線上？若在，求出該直線的方程；若不在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ＋y2＝1．(2) ① ② 點Q在一條定直線y＝－1上

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題中條件得： ,即可得解；

（2）①根據(jù)橢圓的性質(zhì)，M，N兩點關(guān)于x軸對稱，故可設(shè)M(x0，y0)，N(x0，－y0)( x0≠0，y0≠0)，由k1k2＝，及點在橢圓上即可得解；

②設(shè)Q(x1，y1)，用坐標(biāo)表示斜率，通過垂直得斜率之積為-1，可得(y0－1)(y1－y0)＝－x0 (x1－x0)，(－y0－1)(y1＋y0)＝－x0 (x1－x0)，化得(y1＋1) y0＝0，所以y1＝－1，得證.

試題解析：

（1）設(shè)橢圓C：＋＝1的半焦距為c．

由題意，得 解得從而b＝1．

所以橢圓C的方程為＋y2＝1．

（2）①根據(jù)橢圓的性質(zhì)，M，N兩點關(guān)于x軸對稱，

故可設(shè)M(x0，y0)，N(x0，－y0)( x0≠0，y0≠0)，

從而 k1k2＝·＝．

因為點M在橢圓C上，所以＋y02＝1，所以1－y02＝，

所以k1k2＝＝．

②設(shè)Q(x1，y1)，依題意A(0，1)．

因為l1⊥AM，所以·＝－1，即(y0－1)(y1－y0)＝－x0 (x1－x0)；

因為l2⊥AN，所以·＝－1，即(－y0－1)(y1＋y0)＝－x0 (x1－x0)，

故 (y0－1)(y1－y0)－(－y0－1)(y1＋y0)＝0，

化得(y1＋1) y0＝0．

從而必有y1＋1＝0，即y1＝－1．

即點Q在一條定直線y＝－1上．