Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為c（c為橢圓的半焦距）的圓O與直線l：y=-

2

x+3相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l與圓O的公共點(diǎn)為M，與橢圓C的公共點(diǎn)為N，求△OMN的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）可設(shè)圓O的方程為x²+y²=c²，根據(jù)圓O到直線的距離等于半徑c可求c值，由離心率可得a，再由b²=a²-c²可求得方程；
（Ⅱ）由

y=- 2 x+3 x2 4 +y2=1

得9x2-24

2

x+32=0，解出可得N點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得|ON|、|OM|，由溝谷定理可得|MN|，利用三角形面積公式可求△OMN的面積．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，圓O的方程為x²+y²=c²，
于是可得圓心O（0，0）到直線l：y=-

2

x+3的距離為c，即有

3

3

=c，c=

3

，
又∵e=

c

a

=

3

2

，∴a=2，
∴b²=a²-c²=1，
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由

y=- 2 x+3 x2 4 +y2=1

得9x2-24

2

x+32=0，
設(shè)N（x₁，y₁），
則x1=

4 2

3

，y1=

1

3

，由直線與橢圓相切，知M為切點(diǎn)，
∴|ON|=

x12+y12

=

33

3

，
又|OM|=

3

，
∴|MN|=

|ON|2-|OM|2

=

33 9 -3

=

6

3

，
∴S△OMN=

1

2

•|MN||OM|=

1

2

×

6

3

×

3

=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、三角形面積公式，考查方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力，準(zhǔn)確運(yùn)算是解決該類題目的基礎(chǔ)．