Question

【題目】已知函數(shù)（），曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.

（1）試比較與的大小，并說明理由；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由兩直線垂直的條件：斜率相等，即可得到切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而f（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，可得f（2016）＞f（2017），即可得到20162017與20172016的大��；

（Ⅱ）運(yùn)用分析法證明，不妨設(shè)x1＞x2＞0，由根的定義可得所以化簡(jiǎn)得lnx1﹣kx1=0，lnx2﹣kx2=0．可得lnx1+lnx2=k（x1+x2），lnx1﹣lnx2=k（x1﹣x2），要證明， ，即證明lnx1+lnx2＞2，也就是k（x1+x2）＞2．求出k，即證，令 ，則t＞1，即證．令（t＞1）．求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．

試題解析：

（1）依題意得，

所以，又由切線方程可得，即，解得

此時(shí)， ，

令，即，解得；

令，即，解得

所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為

所以，即，

， .

（2）證明：不妨設(shè)因?yàn)?/span>

所以化簡(jiǎn)得，

可得， .

要證明，即證明，也就是

因?yàn)?/span>，所以即證

即，令，則，即證.

令（），由

故函數(shù)在是增函數(shù)，所以，即得證.

所以.