Question

已知{a_n}是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a₃•a₆=55，a₂+a₇=16．數(shù)列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首項為1，公比為

1

3

的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若cn=an•(bn-

3

2

)，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由{a_n}是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a₃•a₆=55，a₂+a₇=16．求出數(shù)列的首項及公差，代入可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）及數(shù)列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首項為1，公比為

1

3

的等比數(shù)列，求出數(shù)列{b_n}通項，進而由cn=an•(bn-

3

2

)，求出數(shù)列{c_n}的通項，進而用錯位相減法，求出數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則依題知d＞0，
由a₃+a₆=a₂+a₇=16．且a₃•a₆=55，
得a₃=5，a₆=11，d=2
∴a_n=a₃+2（n-3）=2n-1    …（4分）
（2）由（1）得：a_n=2n-1（n∈N^*）．
b₁=1，當n≥2時，bn-bn-1=(

1

3

)n-1，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1=

3

2

(1-

1

3n

)
因而bn=

3

2

(1-

1

3n

)，n∈N^*．
 cn=an•(bn-

3

2

)=(2n-1)•(-

3

2

)•

1

3n

，…（7分）
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=-

3

2

(

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

)
令T_n=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

①
則

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

②
①-②得：

2

3

Tn=

1

3

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

1

3

(1-

1

3n-1

)-

2n-1

3n+1

…（10分）
∴Tn=1-

n+1

3n

．
∴Sn=

3

2

(

n+1

3n

-1)．   …（12分）

點評：本題考查的知識點是等差數(shù)列與等比數(shù)列，根據(jù)已知求出各個數(shù)列的通項公式，并根據(jù)數(shù)列{c_n}的通項，選用錯位相減法求和是解答的關(guān)鍵．