Question

已知中心在原點，長軸在x軸上的橢圓的一個頂點是點（0，

5

），離心率為

6

6

，左、右焦點分別為F₁和F₂．
（1）求橢圓方程；
（2）點M在橢圓上，求△MF₁F₂面積的最大值；
（3）試探究橢圓上是否存在一點P，使

PF1

•

PF2

=0，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意設出橢圓標準方程，根據(jù)頂點的坐標和離心率得b=

5

，e=

c

a

=

6

6

，根據(jù)a²=b²+c²求出a的值，即求出橢圓標準方程；
（2）根據(jù)（1）求出的橢圓標準方程，求出點M縱坐標的范圍，即求出三角形面積的最大值；
（3）先假設存在點P滿足條件，根據(jù)向量的數(shù)量積得

PF1

⊥

PF2

，根據(jù)橢圓的焦距和橢圓的定義列出兩個方程，求出S△PF1F2的值，結(jié)合（2）中三角形面積的最大值，判斷出是否存在點P．

解答：解：（1）由題意設橢圓標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
由已知得，b=

5

，e=

c

a

=

6

6

．（2分）
則e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

，∴1-

5

a2

=

1

6

．解得a²=6（4分）
∴所求橢圓方程為

x2

6

+

y2

5

=1（5分）

（2）令M（x₁，y₁），則S△MF1F2=

1

2

|F1F2|•|y1|=

1

2

•2•|y1|（7分）
∵點M在橢圓上，∴-

5

≤y1≤

5

，故|y₁|的最大值為

5

（8分）
∴當y1=±

5

時，S△MF1F2的最大值為

5

．（9分）

（3）假設存在一點P，使

PF1

•

PF2

=0，
∵

PF1

≠

0

，

PF2

≠

0

，∴

PF1

⊥

PF2

，（10分）
∴△PF₁F₂為直角三角形，∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4 ①（11分）
又∵|PF1|+|PF2|=2a=2

6

 ②（12分）
∴②²-①，得2|PF₁|•|PF₂|=20，∴

1

2

|PF1|•|PF2|=5，（13分）
即S△PF1F2=5，由（1）得S△PF1F2最大值為

5

，故矛盾，
∴不存在一點P，使

PF1

•

PF2

=0．（14分）

點評：本題考查了橢圓方程的求法以及橢圓的性質(zhì)、向量數(shù)量積的幾何意義，利用a、b、c、e幾何意義和a²=b²+c²求出a和b的值，根據(jù)橢圓上點的坐標范圍求出相應三角形的面積最值，即根據(jù)此范圍判斷點P是否存在，此題綜合性強，涉及的知識多，考查了分析問題和解決問題的能力．