Question

【題目】已知可以用一系列半徑為且彼此不重疊的圓盤覆蓋平面上的所有格點(diǎn)（在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)為格點(diǎn)），則______4 （填“大于～小于”或“等于”）．

Answer 1

【答案】小于

【解析】

將半徑為的三個(gè)圓盤兩兩外切地放人以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的網(wǎng)格中，則必有一個(gè)單位網(wǎng)格其頂點(diǎn)、、、分別包含在三個(gè)圓盤中．

【注】若一個(gè)單位網(wǎng)格的頂點(diǎn)在四個(gè)圓盤中，則．

不妨設(shè)、，，（如圖）．

設(shè)的三個(gè)切點(diǎn)分別為、、．不妨設(shè)點(diǎn)比離近．

過作的平行線與、的弧、交于點(diǎn)、，分別過、作的垂線與的弧交于點(diǎn)、．

則四邊形為矩形，且，．

作，且到的距離為．

設(shè)與弧、交于點(diǎn)、，與弧、交于點(diǎn)、．則

．

故，即．①

但當(dāng)時(shí)，不等式①不成立，即當(dāng)時(shí)，不能將所有格點(diǎn)覆蓋，且當(dāng)時(shí)，圖1中的空隙（曲線）成比例擴(kuò)大，從而也不能將所有格點(diǎn)覆蓋．