Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-

3

，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），設(shè)點(diǎn)A(1，

1

2

)．（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）過(guò)原點(diǎn)O且斜率為k（k＜0）的直線l交橢圓于點(diǎn)B，C，求△ABC面積的最大值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由左焦點(diǎn)為F(-

3

，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），得到橢圓的半長(zhǎng)軸a，半焦距c，再求得半短軸b，最后由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上求得方程．
（II）設(shè)該直線方程為y=kx，代入橢圓方程，求得B，C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得弦長(zhǎng)|BC|，再求原點(diǎn)到直線的距離，從而可得三角形面積模型，再用基本不等式求其最值．

解答：解：（Ⅰ）由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2，半焦距c=

3

，則半短軸b=1．
又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1
 （II）設(shè)該直線方程為y=kx，代入

x2

4

+y2=1
解得B（

2

4k2+1

，

2k

4k2+1

），C（ -

2

4k2+1

，-

2k

4k2+1

），
則 |BC|=4

1+k2

1+4k2

，又點(diǎn)A到直線BC的距離d=

|k- 1 2 |

1+k2

，
∴△ABC的面積S_△ABC=

1

2

|AB|•d=

|2k-1|

1+4k2

于是S_△ABC=

4k2-4k+1 4k2+1

=

1- 4k 4k2+1

由

4k

4k2+1

≥-1，得S_△ABC≤

2

，其中，當(dāng)k=-

1

2

時(shí)，等號(hào)成立．
∴S_△ABC的最大值是

2

．直線方程為y=-

1

2

x

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，求三角形面積的最值，關(guān)鍵是構(gòu)建模型，利用基本不等式求解．