Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-

3

，0)，且過點(diǎn)D（2，0）．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A(1，

1

2

)，若P是橢圓上的動點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，根據(jù)題意可得a=2且c=

3

，從而b=

a2-b2

=1，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式將x₀、y₀表示成關(guān)于x、y的式子，將P（x₀，y₀）關(guān)于x、y的坐標(biāo)形式代入已知橢圓的方程，化簡整理即可得到線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答：解：（1）由題意知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)D（2，0），左焦點(diǎn)為F(-

3

，0)，
∴a=2，c=

3

，可得b=

a2-b2

=1
因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x₀，y₀），線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），
由根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得

x= x0+1 2 y= y0+ 1 2 2

，整理得

x0=2x-1 y0=2y- 1 2

，
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓上，
∴可得

(2x-1)2

4

+(2y-

1

2

)2=1，化簡整理得(x-

1

2

)2+

(y- 1 4 )2

1 4

=1，
由此可得線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是(x-

1

2

)2+4(y-

1

4

)2=1．

點(diǎn)評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓方程并求與之有關(guān)的一個軌跡方程，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)和軌跡方程的求法等知識點(diǎn)，屬于中檔題．