Question

【題目】已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且a2a3=a5 ， S4=10S2 ．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=（2n﹣1）an ， 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比設(shè)為q，

由a2a3=a5，S4=10S2，

可得a12q3=a1q4，a1（1+q+q2+q3）=10a1（1+q），

解得a1=q=3，（q=1舍去），

則an=a1qn﹣1=3n

（2）解：bn=（2n﹣1）an=（2n﹣1）3n，

前n項(xiàng)和Tn=13+332+…+（2n﹣1）3n，

3Tn=132+333+…+（2n﹣1）3n+1，

相減可得﹣2Tn=13+2（32+…+3n）﹣（2n﹣1）3n+1

=3+2 ﹣（2n﹣1）3n+1，

化簡(jiǎn)可得Tn=3+（n﹣1）3n+1

【解析】（1）正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比設(shè)為q，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)；（2）bn=（2n﹣1）an=（2n﹣1）3n，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．