Question

【題目】已知函數(shù)f（x）（k＞0）

（1）若f（x）＞m的解集為{x|x＜-3，或x＞-2}，求不等式5mx2+kx+3＞0的解集；

（2）若存在x＞3，使得f（x）＞1成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)不等式解集與對應(yīng)方程根的關(guān)系：-3，-2是方程mx2-2kx+6km=0的根，即利用韋達(dá)定理得方程組，解方程組可得m,k的值，代入不等式5mx2+kx+3＞0再解一元二次不等式即可（2）不等式有解問題，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題： ，再根據(jù)基本不等式求最值，即得k的取值范圍．

試題解析：解：（1）不等式，

∵不等式mx2-2kx+6km＜0的解集為{x|x＜-3，或x＞-2}，∴-3，-2是方程mx2-2kx+6km=0的根，

∴，故有，

∴不等式5mx2+kx+3＞0的解集為．

（2）．

存在x＞3，使得f（x）＞1成立，即存在x＞3，使得成立．

令，則k＞g（x）min．

令2x-6=t，則t∈（0，+∞），，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立．

∴，故k∈（6，+∞）．