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          設(shè)f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．
          （Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
          （Ⅱ）若a=1，證明：x∈（0，5）時(shí)，f(x)＜
          9xx+1
          成立．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
          （Ⅱ）a=1，f（x）=ln（x+1）+x，f(x)＜
          9x
          x+1
          等價(jià)于ln（x+1）+
          x2-8x
          x+1
          ＜0，求出函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論．
          解答：（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞）
          求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=
          1
          x+1
          +a
          當(dāng)a≥0時(shí)，
          1
          x+1
          +a＞0          ，函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)增區(qū)間為（-1，+∞）；
          當(dāng)a＜0時(shí)，
          1
          x+1
          +a＞0          ，函數(shù)在（-1，-1-
          1
          a
          ）內(nèi)單調(diào)遞增，單調(diào)增區(qū)間為（-1，-1-
          1
          a
          ）
          1
          x+1
          +a＜0          ，函數(shù)在（-1-
          1
          a
          ，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，單調(diào)減區(qū)間為（-1-
          1
          a
          ，+∞）；
          （Ⅱ）證明：若a=1，f（x）=ln（x+1）+x，f(x)＜
          9x
          x+1
          等價(jià)于ln（x+1）+
          x2-8x
          x+1
          ＜0
          令g（x）=ln（x+1）+
          x2-8x
          x+1
          ，則g′（x）=
          x2+3x-7
          (x+1)2

          ∵x∈（0，5），∴函數(shù)在（0，
          -3+
          		37
          2
          ）上單調(diào)遞增，在（
          -3+
          		37
          2
          ，5）上單調(diào)遞減
          ∴g（x）max=ln（
          -3+
          		37
          2
          +1）+
          (
          -3+
          		37
          2
          )          2          -8•
          -3+
          		37
          2
          -3+
          		37
          2
          +1
          ＜0
          ∴x∈（0，5）時(shí)，f(x)＜
          9x
          x+1
          成立．
          點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數(shù)f（x）=lnx-
          1
          2
          ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0
          （1）試用含有a的式子表示b，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
          （2）設(shè)函數(shù)f（x）的最大值為g（a），試證明不等式：g（a）＞ln（1+
          a
          2
          ）-1
          （3）首先閱讀材料：對于函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（x0∈（x1，x2）），使得f（x）在點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱AB存在“相依切線”特別地，當(dāng)x0=
          x1+x2
          2
          時(shí)，則稱AB存在“中值相依切線”．請問在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切線”？若存在，求出一組A、B的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•遼寧）設(shè)f（x）=ln（x+1）+
          		x+1
          +ax+b（a，b∈R，a，b為常數(shù)），曲線y=f（x）與直線y=
          3
          2
          x在（0，0）點(diǎn)相切．
          （I）求a，b的值；
          （II）證明：當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＜
          9x
          x+6
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數(shù)f（x）滿足f（x）+f'（0）-e-x=-1，函數(shù)g（x）=-λlnf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)．
          （1）當(dāng)x≥0時(shí)，曲線y=f（x）在點(diǎn)M（t，f（t））的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最大值；
          （2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]時(shí)恒成立，求t的取值范圍；
          （3）設(shè)函數(shù)h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常數(shù)m∈Z，且m＞1，試判定函數(shù)h（x）在區(qū)間[e-m-m，e2m-m]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并作出證明．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•洛陽模擬）設(shè)f（x）=ln（|x-1|+m|x-2|-3）（m∈R）
          （Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
          （Ⅱ）若當(dāng)1≤x≤
          74
          ，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)f（x）=ln（x+1），（x＞-1）
          （1）討論函數(shù)g(x)=af(x)-
          1
          2
          x2          （a≥0）的單調(diào)性．
          （2）求證：(1+
          1
          1
          )(1+
          1
          2
          )(1+
          1
          3
          )…(1+
          1
          n
          )＜e
          n+2
          2
          （n∈N*）
          

			
          

			
          
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          同步練習(xí)冊答案