Question

（2012•洛陽模擬）設(shè)f（x）=ln（|x-1|+m|x-2|-3）（m∈R）
（Ⅰ）當(dāng)m=1時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若當(dāng)1≤x≤

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4

，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題設(shè)知：|x-1|+|x-2|-3＞0，分類討論解絕對值不等式，求出不等式的解集，即得函數(shù)f（x）
的定義域．
（II）不等式f（x）≥0 即m≥

2-|x-1|

|x-2|

．由1≤x≤

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4

，可得 m≥1+

1

2-x

．根據(jù)單調(diào)性求出y=1+

1

2-x

  的
最大值為 5，由此可得m≥5．

解答：解：（I）由題設(shè)知：|x-1|+|x-2|-3＞0，
∴

x≥2 x-1+x-2＞3

 ①，或 

1≤x＜2 x-1-x+2＞3

 ②，或

x ＜1  -x+1-x+2＞3

 ③．
解①可得 x＞3，解②可得x∈∅，解③可得 x＜0．
不等式的解集是以下三個不等式組解集的并集，求得函數(shù)的定義域為 （-∞，0）∪（3，+∞）．
（II）不等式f（x）≥0 即|x-1|+m|x-2|-3≥1，即 m≥

2-|x-1|

|x-2|

．
∵1≤x≤

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4

，∴m≥

2-(x-1)

2-x

=

2-x+1

2-x

=1+

1

2-x

，即 m≥1+

1

2-x

．
由于函數(shù)y=1+

1

2-x

在[1，

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4

]上是增函數(shù)，故當(dāng)x=1時，y 取得最小值為2；當(dāng)x=

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4

時，y 取得最大值為 5，
由題意可得，m大于或等于y的最大值 5，故m的取值范圍是[5，+∞）．

點評：本題主要考查求函數(shù)的定義域和值域，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．