Question

【題目】已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)， 是橢圓上一點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，試求點(diǎn)到直線的距離.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 原點(diǎn)到直線的距離.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等式關(guān)系可得，求出c值，然后結(jié)合橢圓定義和已知等式關(guān)系聯(lián)立方程即可得a，進(jìn)而求出標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先驗(yàn)證斜率不存在時(shí)情況，然后再討論斜率存在時(shí)，由得: ，故設(shè)，得，連立方程得出韋達(dá)定理代入等式得k，n的關(guān)系，在計(jì)算距離即可得出結(jié)論.

解析：（Ⅰ）由得: ，化簡(jiǎn)得： ，

解得： 或

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>

所以，則，又，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；

（Ⅱ）由題意可知，直線不過原點(diǎn)，設(shè)，

①直線軸，直線的方程且，

則

由得: ,

即，解得： ，

故直線的方程為，∴原點(diǎn)到直線的距離，

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

則，消去整理得： ，

， ，

則=

由得,

故+，

整理得： ，

即 ①

原點(diǎn)到直線的距離， ②

將①代入②，則，∴，

綜上可知：原點(diǎn)到直線的距離．