Question

設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，且a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足，n∈N^*，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），由a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列得關(guān)于d的方程，解出d后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n；
（Ⅱ）由條件可知，n≥2時(shí)，=1--（1-）=，再由（Ⅰ）可求得b_n，注意驗(yàn)證n=1的情形，利用錯(cuò)位相減法可求得T_n；
解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
∵a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列，
∴=a₂a₁₄，即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=0（舍去），或d=2．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（Ⅱ）由已知，，n∈N^*，
當(dāng)n=1時(shí)，=；
當(dāng)n≥2時(shí)，=1--（1-）=．
∴=，n∈N^*．
由（Ⅰ），知a_n=2n-1，n∈N^*，
∴b_n=，n∈N^*．
又T_n=+++…+，
則T_n=++…++．
兩式相減，得T_n=+（++…+）-=--，
∴T_n=3-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列等比數(shù)列的綜合應(yīng)用、錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和，屬中檔題．