Question

已知兩條直線l₁：y=m 和l₂：y=

8

2m+1

（m＞0），直線l₁與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)A，B，直線l₂與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左至右相交于C，D．記線段AC和BD在X軸上的投影長度分別為a 和b．當(dāng)m變化時(shí)，

b

a

的最小值為

8

2

．

Answer 1

分析：由題意設(shè)A，B，C，D各點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B，x_C，x_D，依題意可求得為x_A，x_B，x_C，x_D的值，a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，下面利用基本不等式可求最小值．

解答：解：設(shè)A，B，C，D各點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B，x_C，x_D，
則-log₂x_A=m，log₂x_B=m；-log₂x_C=

8

2m+1

，log₂x_D=

8

2m+1

；
∴x_A=2^-m，x_B=2^m，x_C=2-

8

2m+1

，x_D=2

8

2m+1

．
∴a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，
∴

b

a

=

2m-2 8 2m+1

2-m-2- 8 2m+1

=2^m•2

8

2m+1

=2m+

8

2m+1

又m＞0，∴m+

8

2m+1

=

1

2

（2m+1）+

8

2m+1

-

1

2

≥2

1 2 ×8

-

1

2

=

7

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

1

2

(2m+1)=

8

2m+1

，即m=

3

2

時(shí)取“=”號(hào)，
∴

b

a

≥2

7

2

=8

2

，
故答案為：8

2

．

點(diǎn)評：本題考查對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，理解投影的概念并能把問題轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．