Question

已知函數(shù)g（x）=

4x-n

2x

是奇函數(shù)，f（x）=log₄（4^x+1）+mx是偶函數(shù)．
（1）求m+n的值；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+

1

2

x，若g（x）＞h[log₄（2a+1）]對任意x≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）若對任意的t∈R，不等式g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)定義在R上奇函數(shù)滿足g（0）=0，解出n=1，再根據(jù)f（-x）=f（x），化簡整理得到m=-

1

2

，由此可得m+n的值；
（2）由（1）得h（x）=log₄（4^x+1），從而h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2），根據(jù)g（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，得g（x）_min=g（1）=

3

2

，可建立關(guān)于a的不等式組，解之即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）根據(jù)g（x）是定義在R上的奇函數(shù)且是增函數(shù)，將原不等式轉(zhuǎn)化為t²-2t＞-2t²+k對一切t∈R恒成立，再結(jié)合一元二次不等式恒成立的條件，列出關(guān)于k的不等式，解之可得k的取值范圍．

解答：解：（1）由于g（x）為奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽，
∴g（0）=0，即

40-n

20

=0，解之得n=1，…（2分）
由于f（x）=log₄（4^x+1）+mx，
∴f（-x）=log₄（4^-x+1）-mx=log₄（4^x+1）-（m+1）x，
∵f（x）=log₄（4^x+1）+mx是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），得到m=-

1

2

，由此可得：m+n的值為

1

2

；…（4分）
（2）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+

1

2

x=log₄（4^x+1），∴h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2），…（6分）
又∵g（x）=

4x-1

2x

=2^x-2^-x在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x≥1時，g（x）_min=g（1）=

3

2

…（8分）
由題意得到

2a+2＜4 3 2 2a+1＞0 2a+2＞0

，解之得-

1

2

＜a＜3，得a的取值范圍是：（-

1

2

，3）．…（9分）
（3）g（x）=2^x-2^-x在區(qū)間（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
又∵g（-x）=-g（x），得g（x）是奇函數(shù)，
∴不等式g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0等價于g（t²-2t）＞-g（2t²-k）=g（-2t²+k）…（10分）
由g（x）在R上是增函數(shù)得，t²-2t＞-2t²+k對一切t∈R恒成立，…（12分）
即3t²-2t-k＞0對一切t∈R恒成立，，所以△=4+12k＜0，解之得k＜-

1

3

…（14分）

點(diǎn)評：本題給出含有指數(shù)和對數(shù)的函數(shù)，討論函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性并解決關(guān)于x的不等式恒成立的問題，著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)和不等式恒成立問題的處理等知識，屬于中檔題．