Question

已知函數f（x）=

2x+1

x+2

，試證明f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上是增函數，并求出該函數在區(qū)間[1，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，通過作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，即可得出結論；利用函數的單調性，可得函數在區(qū)間[1，4]上的最大值和最小值．

解答：解：f（x）=

2x+1

x+2

=2-

3

x+2

                  （1分）
在（-2，+∞）上任取x₁，x₂，使得-2＜x₁＜x₂，則                    （2分）
f（x₁）-f（x₂）=

3(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

                           （5分）
∵-2＜x₁＜x₂，
∴0＜x₁+2＜x₂+2，且x₁-x₂＜0                                        （8分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），（9分）
∴f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上是增函數．（10分）
∵f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上是增函數，
∴f（x）在區(qū)間[1，4]上也是增函數，（11分）
當x=1時，f（x）有最小值，且最小值為f（1）=1                        （12分）
當x=4時，f（x）有最大值，且最大值為f（4）=

3

2

．（14分）

點評：本題考查函數單調性的定義，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．