Question

【題目】已知橢圓方程為，和分別是橢圓的左右焦點(diǎn).

①若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)到M，使，則M的軌跡是圓；

②若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則；

③以焦點(diǎn)半徑為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切；

④點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積為

以上說(shuō)法中，正確的有（ ）

A.①③④B.①③C.②③④D.③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用橢圓的定義，判斷①是否正確；利用橢圓的幾何性質(zhì)，判斷②是否正確；根據(jù)兩個(gè)圓的位置關(guān)系，判斷③是否正確；利用橢圓的定義，結(jié)合余弦定理、三角形面積公式，計(jì)算出橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積，由此判斷④是否正確.

對(duì)于①，根據(jù)橢圓的定義可知，所以，也即到的距離為定值，故的軌跡是圓，所以①正確.

對(duì)于②，當(dāng)為左頂點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)為右頂點(diǎn)時(shí)，，所以，所以②錯(cuò)誤.

對(duì)于③，以為直徑的圓，圓心為，半徑是.以長(zhǎng)軸為直徑的圓，圓心為，半徑為.連接，則是三角形的中位線(xiàn)，由于，所以，即兩圓圓心角等于兩圓半徑之差，故兩個(gè)圓內(nèi)切，故③正確.

對(duì)于④，設(shè)，依題意（*），由余弦定理得（**），而三角形的面積為（***），將（*）、（**）、（***）聯(lián)立化簡(jiǎn)得，.故④正確.所以正確的為①③④.

故選：A.