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        1. 在數(shù)列{
          a
           
          n
          }中
          a
           
          1
          =1,
          a
           
          n+1
          =c
          a
           
          n
          +cn+1(2n+1)(n∈N*)
          ,其中c≠0.
          (Ⅰ)求{
          a
           
          n
          }
          通項公式;
          (Ⅱ)若對一切k∈N*
          a
           
          2k
          a
           
          2k-1
          ,求c的取值范圍.
          分析:(1)由數(shù)列{
          a
           
          n
          }中
          a
           
          1
          =1,
          a
           
          n+1
          =c
          a
           
          n
          +cn+1(2n+1)(n∈N*)
          ,其中c≠0.求得a1=1,a2=ca1+c2•3=3c2+c,a3=ca2+c3•5=8c3+c2,由此猜測an=(n2-1)cn+cn-1,進而用數(shù)學歸納法證明.
          (2)把(1)中求得的an代入
          a
           
          2k
          a
           
          2k-1
          ,整理得(4k2-1)c2-(4k2-4k-1)c-1>0,設(4k2-1)c2-(4k2-4k-1)c-1=0的兩個根分別表示ck和c k ,根據(jù)ck
          (4k2-4k-1)+4k2+1
          2(4k2-1)
          =
          8k2-4k
          8k2-2
          <1
          ,得c≥1;再根據(jù)ck判斷出單調(diào)遞增知ckc1對一切k∈N*成立,求得c<-
          1+
          13
          6
          .最后綜合答案可得.
          解答:解:(1)∵數(shù)列{
          a
           
          n
          }中
          a
           
          1
          =1,
          a
           
          n+1
          =c
          a
           
          n
          +cn+1(2n+1)(n∈N*)
          ,其中c≠0.
          ∴a1=1,
          a2=ca1+c2•3=(22-1)c2+c,
          a3=ca2+c3•5=(32-1)c3+c2,
          由此猜測an=(n2-1)cn+cn-1
          下用數(shù)學歸納法證明.
          ①當n=1時,等式成立;
          ②假設當n=k時,等式成立,即ak=(k2-1)ck+ck-1,…(6分)
          則當n=k+1時,ak+1=cak+ck+1(2k+1)=c[(k2-1)ck+ck-1]+ck+1(2k+1)
          =(k2+2k)ck+1+ck=[(k+1)2-1]ck+1+ck,…(7分)
          綜上,an=(n2-1)cn+cn-1對任何n∈N*都成立.…(8分)
          (3)由a2k>a2k-1,得[(2k)2-1]c2k+c2k-1>[(2k-1)2-1]c2k-1+c2k-2,…(9分)
          因c2k-2>0,所以(4k2-1)c2-(4k2-4k-1)c-1>0.
          解此不等式得:對一切k∈N*,有c>ck或c<c k 
          其中ck=
          (4k2-4k-1)+
          (4k2-4k-1)2+4(4k2-1)
          2(4k2-1)
          ,
          ck=
          (4k2-4k-1)-
          (4k2-4k-1)2+4(4k2-1)
          2(4k2-1)
          .(10分)
          lim
          k→∞
          ck=1
          ,
          又由
          (4k2-4k-1)2+4(4k2-1)
          (4k2-1)2+4(4k2-1)+4
          =4k2+1,
          知ck
          (4k2-4k-1)+4k2+1
          2(4k2-1)
          =
          8k2-4k
          8k2-2
          <1
          ,…(11分)
          因此由c>ck對一切k∈N*成立得c≥1.…(12分)
          ck=
          -2
          (4k2-4k-1)+
          (4k2-4k-1)2+4(4k2-1)
          <0,
          cn單調(diào)遞增,故cn c1對一切k∈N*成立,
          因此由c<ck對一切k∈N*成立得c<c 1=-
          1+
          13
          6
          .…(13分)
          從而c的取值范圍為(-∞,-
          1+
          13
          6
          )∪[1,+∞).…(14分).
          點評:本題主要考查了數(shù)列的遞推式、數(shù)學歸納法,考查了學生綜合運用所學知識和實際的運算能力.考查化歸與轉化思想.綜合性強,難度大,有一定的探索性,對數(shù)學思維能力要求較高,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答.
          練習冊系列答案
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          (1)求證:|q|>1;
          (2)若a=1,n=1,求d的值;
          (3)若插入的n個數(shù)中,有s個位于a,b之間,t個位于b,c之間,且s,t都為奇數(shù),試比較s與t的大小,并求插入的n個數(shù)的乘積(用a,c,n表示).

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          an
          an-1
          )在直線x-y=
          6
          上,則數(shù)列{
          a n
          n3(n+1)
          }的前n項和Sn=
          6n
          n+1
          6n
          n+1

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          在數(shù)列{
          a
           
          n
          }
          中,a1=2,an+1=an+2n(n∈N*),
          (1)求{
          a
           
          n
          }
          的通項公式;
          (2)求數(shù)列{nan}的前n項和Sn

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          科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年福建省福州市高三質量檢測理科數(shù)學 題型:解答題

          (本小題滿分13分)

          在數(shù)列{a n}中,a1=2,點(a n,a n+1)(n∈N*)在直線y=2x上.

          (Ⅰ)求數(shù)列{ a n }的通項公式;

           (Ⅱ)若bn=log2 an,求數(shù)列的前n項和Tn

           

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