Question

如圖，在△ABC中，BD為AC邊上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD將△ABD翻折，使得∠ADC=30°，得到幾何體B-ACD．
（I）求證：AC⊥平面BCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）由已知中BD⊥AD，BD⊥CD，由線面垂直的判定定理可得BD⊥平面ACD，進而AC⊥BD，由余弦定理可以判斷出AC⊥CD，再由線面垂直的判定定理，即可得到AC⊥平面BCD；
（Ⅱ）以D為坐標原點，建立如圖所示的空間坐標系，分別求出異面直線AB與CD的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到異面直線AB與CD所成角的正切值．

解答：證明：（I）因為BD⊥AD，BD⊥CD，AD∩CD=D，
所以BD⊥平面ACD．
又因為AC?平面ACD，
所以AC⊥BD．  ①
在△ACD中．∠ADC=30°，AD=2，CD=

3

，
由余弦定理得AC²=AD²+CD²一2AD•CD•COS∠ADC=1．
因為AD²=CD²+AC²．所以∠ACD=90°．即AC⊥CD．②
由①、②及BD∩CD=D，可得AC⊥平面BCD．
解：（Ⅱ） 以D為坐標原點，建立如圖所示的空間坐標系，
則A（1，

3

，0），B（0，0，1），C（0，

3

，0）
則

AB

=（-1，-

3

，1），

CD

=（0，-

3

，0）
設(shè)異面直線AB與CD所成角為θ，
則cosθ=

AB • CD

| AB |•| CD |

=

15

5

則sinθ=

10

5

tanθ=

6

3

點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，直線與平面垂直的判斷，其中（I）的關(guān)鍵是證得AC⊥BD，AC⊥CD，（II）的關(guān)鍵是建立空間坐標系，將異面直線夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角的問題．