Question

已知數(shù)列滿足：數(shù)列滿足．

(1)若是等差數(shù)列，且，求的值及的通項(xiàng)公式；

(2)若是等比數(shù)列，求的前項(xiàng)和；

(3)當(dāng)是公比為的等比數(shù)列時(shí)，能否為等比數(shù)列？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）因?yàn)閧a _n}是等差數(shù)列，a ₁=1,a ₂=a,所以a _n =1+（n–1）(a –1)

又b₃=12,所以a₃ a ₄=12，即（2a – 1）(3a – 2)=12，              

解得a=2或， 

因?yàn)閍>0，所以a=2，從而a _n =n，………………………………4 分

（2）因?yàn)閧a _n}是等比數(shù)列，a ₁=1, a ₂=a, 所以a _n = a ^{n – 1}，則b_n=a_na_n+1=a^{2 n – 1}

因?yàn)?sub>，所以數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比為a ²的等比數(shù)列，（）

當(dāng)a =1時(shí)，S_n=n；

當(dāng)且a≠1時(shí)，；………………………8分

（3）數(shù)列{a _n}不能為等比數(shù)列，

因?yàn)閎_n=a_na_n+1，所以，所以a ₃= a – 1，

假設(shè)數(shù)列{a _n}能為等比數(shù)列，由a ₁=1, a ₂=a, a ₃= a – 1，得 a ²= a – 1，

此時(shí)方程a ²= a – 1，無(wú)解，所以數(shù)列{a _n}一定不能為等比數(shù)列。……12分