Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，b_n≠0
（1）求證數(shù)列{

1

bn

}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=

1

bn 2n

，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，求證：T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）由題意可得a_n=b_n+1，結(jié)合2a_n=1+a_na_n+1，代入化簡(jiǎn)得：b_n-b_n+1=b_nb_n+1，從而可得

1

bn+1

-

1

bn

=1，可證{

1

bn

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)可求

1

bn

，進(jìn)而可求
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C_n=

n

2n

，利用錯(cuò)位相減可求數(shù)列的和

解答：（1）證明：∵b_n=a_n-1，b_n≠0
∴a_n=b_n+1
又2a_n=1+a_na_n+1，
∴2（1+b_n）=1+（b_n+1）（b_n+1+1）
化簡(jiǎn)得：b_n-b_n+1=b_nb_n+1…（2分）
∵b_n≠0
∴

bn

bnbn+1

-

bn+1

bnbn+1

=1
∴

1

bn+1

-

1

bn

=1
∵

1

b1

=

1

a1-1

=1
∴{

1

bn

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．…（4分）
∴

1

bn

=1+(n-1)×1=n
∴bn=

1

n

∴an=1+

1

n

=

n+1

n

…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C_n=

n

2n

．
∴T_n=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

①，

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②…（9分）
①-②得：

1

2

T_n=

1

2

+

2

22

+…

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

…（11分）
∴T_n=2-

n+2

2n

＜2（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列，求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和是數(shù)列求和方法中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，要注意掌握