Question

已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)．若至少存在一個(gè)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)， 在上單調(diào)遞增；（3）實(shí)數(shù)的取值范圍為.

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，先確定，接著求出，進(jìn)而求出，最后由直線的點(diǎn)斜式即可寫出所求的切線方程；（2）先確定函數(shù)的定義域，設(shè)，接著針對(duì)這個(gè)二次函數(shù)開口方向及與軸正半軸有多少個(gè)交點(diǎn)的問題分、、三類進(jìn)行討論，進(jìn)而確定各種情況下的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后將各個(gè)情況綜合描述即可；（3）法一：先將至少存在一個(gè)，使得成立的問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為：令，等價(jià)于“當(dāng) 時(shí)，”，進(jìn)而求取即可解決本小問；法二：設(shè)，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050103454566.png" style="vertical-align:middle;" />，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)于當(dāng) 時(shí)，，從中對(duì)參數(shù)分、、、，進(jìn)行求解即可.
函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050103454566.png" style="vertical-align:middle;" />，   1分
（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為
即         4分
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050102861533.png" style="vertical-align:middle;" />
1.當(dāng)時(shí)，在上恒成立
則在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減     5分
2.當(dāng)時(shí)，
（�。┤�
由，即，得或      6分
由，即，得         7分
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為  9分
（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時(shí) 在上單調(diào)遞增                        10分
綜上可知：時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)， 在上單調(diào)遞增
（3）因?yàn)榇嬖谝粋�(gè)使得
則，等價(jià)于                   12分
令，等價(jià)于“當(dāng) 時(shí)，”
對(duì)求導(dǎo)，得                 13分
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增
所以，因此                16分
另解：設(shè)，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050103454566.png" style="vertical-align:middle;" />

依題意，至少存在一個(gè)，使得成立
等價(jià)于當(dāng) 時(shí)，               11分
（1）當(dāng)時(shí)
在恒成立，所以在單調(diào)遞減，只要
則不滿足題意        12分
（2）當(dāng)時(shí)，令得
（ⅰ）當(dāng)，即時(shí)
在上，所以在上單調(diào)遞增
所以，由得，，所以   13分
（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)
在上，所以在單調(diào)遞減
所以，由得      14分
（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)， 在上，在上
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
，等價(jià)于或，解得，所以，       15分
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為               16分.