Question

已知．經(jīng)計算得，，，，，通過觀察，我們可以得到一個一般性的結(jié)論．

（1）試寫出這個一般性的結(jié)論；

（2）請用數(shù)學(xué)歸納法證明這個一般性的結(jié)論；

（3）對任一給定的正整數(shù)，試問是否存在正整數(shù)，使得？

若存在，請給出符合條件的正整數(shù)的一個值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】(1)觀察規(guī)律2,4,8,16,…,; ,所以.

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明時要分兩個步驟：一是先驗證：當(dāng)n=1時，不等式成立；二是先假設(shè)n=k時，不等式成立，再證明當(dāng)n=k+1時，命題也成立，但一定要用上n=k時的歸納假設(shè).

(3)令,當(dāng)n=2a時，符合要求.所在存在

（1）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）………4分

（2）證明：（數(shù)學(xué)歸納法）

 當(dāng)時，顯然成立

 假設(shè)當(dāng)時成立，即……………………6分

當(dāng)時，左邊

右邊

即當(dāng)時，也成立．………………………10分

由知，成立．…………………………12分

（3）存在……………………………………13分

可取……………………………16分

注：答案不唯一