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        1. 已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
          ax
          ,(a∈R).
          (1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)p(x)=f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在[1,e]上的最小值為3,求a的值;
          (3)若存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)>x02+g(x0)能成立,求a的取值范圍.
          分析:(1)將a的值代入導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間
          (2)先求導(dǎo)在分類(lèi)討論,代入h(x)的最小值求a
          (3)在x0∈[1,+∞)范圍內(nèi),根據(jù)恒成立問(wèn)題利用不等式求出a的取值范圍
          解答:解:(1)由題意:p(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),且p/(x)=
          1
          x
          -
          2
          x2
          =
          x-2
          x2

          當(dāng)a=2時(shí),∴在區(qū)間(0,2)上p′(x)<0,在(2,+∞)上p′(x)>0,故p(x)的單調(diào)增區(qū)間是(2,+∞),單調(diào)減區(qū)間是(0,2).
          (2)由題意可知:h/(x)=
          x+a
          x2

          ①若a≥-1,則x+a≥0,即h′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此時(shí)h(x)在[1,e]上為增函數(shù),[h(x)]min=h(1)=-a=3,∴a=-3(舍去).
          ②若a≤-e,則x+a≤0,即h′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此時(shí)h(x)在[1,e]上為減函數(shù),[h(x)]min=h(e)=1-
          a
          e
          =3
          ,∴a=-2e
          ③若-e<a<-1,令h′(x)=0得x=-a,
          當(dāng)1<x<-a時(shí),h′(x)<0,h(x)在(1,-a)上為減函數(shù),
          當(dāng)-a<x<e時(shí),h′(x)>0,h(x)在(-a,e)上為增函數(shù),[h(x)]min=h(-a)=ln(-a)+1=3,∴a=-e2(舍去)綜上可知:a=-2e.
          (3)∵由f(x0)>x02+g(x0)∴l(xiāng)nx0x02+
          a
          x0

          又x0>1∴a<x0lnx0-x03令M(x)=xlnx-x3,只需a<M(x)max再令N(x)=M/(x)=-1+lnx-3x2,,N/(x)=
          1
          x
          -6x=
          1-6x2
          x

          ∵N′(x)在[1,+∞)上小于0,
          ∴N(x)在[1,+∞)上是減函數(shù),N(x)≤N(1)=-2即M′(x)<0,
          故M(x)在[1,+∞)上也是減函數(shù),M(x)≤M(1)=-1.∴a<-1,
          ∴存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)>x02+g(x0)能成立,a的取值范圍是a<-1.
          點(diǎn)評(píng):該題考查函數(shù)的求導(dǎo),以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,該題易在做第二步時(shí)分類(lèi)討論時(shí)討論不全.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
          (1)若曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)平行于x軸,求a的值;
          (2)當(dāng)a=1時(shí),若直線(xiàn)l:y=kx-2與曲線(xiàn)y=f(x)在(-∞,0)上有公共點(diǎn),求k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
          (1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
          (2)證明:對(duì)任意x∈[1,+∞),lnx≥
          2(x-1)
          x+1
          恒成立;
          (3)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線(xiàn)l∥AB,則稱(chēng)直線(xiàn)AB存在“伴侶切線(xiàn)”.特別地,當(dāng)x0=
          x1+x2
          2
          時(shí),又稱(chēng)直線(xiàn)AB存在“中值伴侶切線(xiàn)”.試問(wèn):當(dāng)x≥e時(shí),對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線(xiàn)AB是否存在“中值伴侶切線(xiàn)”?證明你的結(jié)論.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線(xiàn)l與直線(xiàn)x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
          1
          f(n)
          }的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=xlnx
          (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
          (Ⅱ)若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(0,-1),并且與曲線(xiàn)y=f(x)相切,求直線(xiàn)l的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          3
          x
          a
          +
          3
          (a-1)
          x
          ,a≠0且a≠1.
          (1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫(xiě)出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
          (2)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
          6
          )上單調(diào)遞減,在(
          6
          ,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫(xiě)出函數(shù)的解析式;
          (3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線(xiàn)C,試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l,使得l為曲線(xiàn)C的對(duì)稱(chēng)軸?若存在,求出直線(xiàn)l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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