Question

（2009•成都二模）已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)圓c與直線l：x-y-4=0相切，且當(dāng)動(dòng)圓C面積最小時(shí)，圓的方程是（　�。�

A．（x-1）²+（y+1）²=4

B．（x-1）²+（y+1）²=2

C．（x+1）²+（y-1）²=4

D．（x+1）²+（y-1）²=2

Answer 1

分析：通過(guò)作圖可看出，當(dāng)原點(diǎn)、圓心，切點(diǎn)在一條直線上時(shí)，動(dòng)圓半徑最小，此時(shí)原點(diǎn)O到x-y-4=0的距離為2r=

|4|

2

=2

2

可求r，由圓心到直線x-y-4=0的距離d=

|2a-4|

2

=

2

及圓心C在直線x-y-4=0上可求a，從而可求圓的方程

解答：解：通過(guò)作圖可看出，當(dāng)原點(diǎn)，圓心，切點(diǎn)在一條直線上時(shí)，動(dòng)圓半徑最小
此時(shí)原點(diǎn)O到x-y-4=0的距離為2r=

|4|

2

=2

2

∴r=

2

此時(shí)直線OD的方程為y=-x，從而可設(shè)圓心（a，-a），且a＞0
由圓心到直線x-y-4=0的距離d=

|2a-4|

2

=

2

∴a=1或a=3
∵圓心C在直線x-y-4=0上可得，2a-4＜0
∴a＜2
∴a=1
∴圓的方程為（x-1）²+（y+1）²=2
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓相切時(shí)滿(mǎn)足的條件，以及點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用．尋找動(dòng)圓的半徑最小的位置時(shí)解答本題的關(guān)鍵