Question

設{a_n}是公差大于0的等差數(shù)列，b_n=(

1

2

)an，已知b₁+b₂+b₃=

21

8

，b₁b₂b₃=

1

8

，
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求等差數(shù)列{a_n}的通項a_n．

Answer 1

分析：（1）要證明等比數(shù)列，可根據(jù)等比數(shù)列的定義，驗證從第二項起，每一項與前一項之比等于常數(shù)即可；
（2）根據(jù)數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，可先求數(shù)列{b_n}的通項，進而根據(jù)b_n=(

1

2

)an，可求數(shù)列{a_n}的通項a_n．

解答：（1）證明：設{a_n}的公差為d.

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d為常數(shù)，又b_n＞0．
即{b_n}為以(

1

2

)a1為首項，公比為(

1

2

)d的等比數(shù)列．-------------------------------------（6分）
（2）由b2=

1

2

得，

b1+b3= 17 8 b1b3= 1 4

⇒

b1= 1 8 b3=2

or

b3= 1 8 b1=2

，由{b_n}公比為q=(

1

2

)d∈(0，1)
所以b₁＞b₃，所以

b3= 1 8 b1=2

-----------------------------------------------------（12分）
所以bn=(

1

2

)2n-3，即a_n=2n-3，n∈N^*--------------------------------------（14分）

點評：本題的考點是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項及性質(zhì)，關(guān)鍵是正確運用等比數(shù)列的定義，利用等比數(shù)列的通項公式．