Question

（2013•未央?yún)^(qū)三模）在數(shù)列{a_n}中，a1=

2

3

，且對(duì)任意的n∈N₊都有an+1=

2an

an+1

．
（Ⅰ）求證：{

1

an

-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若對(duì)于任意n∈N₊都有a_n+1＜pa_n，求實(shí)數(shù)P的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用an+1=

2an

an+1

可得

1

an+1

-1=

an+1

2an

-1=

1-an

2an

=

1

2

(

1

an

-1)；再求出首項(xiàng)不為0即可證：{

1

an

-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的結(jié)論求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，代入a_n+1＜pa_n把其整理為p＞1+

1

2n+1+1

，再利用函數(shù)的單調(diào)性求出不等式右邊的取值范圍即可得出實(shí)數(shù)P的取值范圍．

解答：解：
（Ⅰ）證明：由an+1=

2an

an+1

，得

1

an+1

-1=

an+1

2an

-1=

1-an

2an

=

1

2

(

1

an

-1)．
又由a1=

2

3

，得

1

a1

-1=

1

2

≠0．
∴{

1

an

-1}是以

1

a1

-1=

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得

1

an

-1=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

．
即an=

2n

2n+1

，an+1=

2n+1

2n+1+1

．
∵a_n+1＜pa_n（n∈N₊），
∴p＞

an+1

an

=

2n+1

2n+1+1

•

2n+1

2n

=

2n+1+2

2n+1+1

=1+

1

2n+1+1

顯然，當(dāng)n=1時(shí)，1+

1

2n+1+1

值最大，且最大值為

6

5

．
∴實(shí)數(shù)p的取值范圍為p＞

6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用以及等比數(shù)列的證明和數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題，是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，屬于中檔題目．