Question

【題目】如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為a，連接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一個三棱錐.求：

(1)三棱錐A′－BC′D的表面積與正方體表面積的比值；

(2)三棱錐A′－BC′D的體積.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）

【解析】試題分析：（1）三棱錐A′BC′D為正四面體，表面積為四個正三角形面積，邊長為正方體棱長倍，根據(jù)三角形面積公式以及正方形面積公式求比值（2）三棱錐A′BC′D的體積等于正方體體積減去4個小三棱錐體積.

試題解析：(1)∵ABCDA′B′C′D′是正方體，∴六個面都是正方形，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a，∴S三棱錐＝4××(a)2＝2a2，S正方體＝6a2，∴＝.

(2)顯然，三棱錐A′ABD、C′BCD、DA′D′C′、BA′B′C′是完全一樣的，

∴V三棱錐A′BC′D＝V正方體－4V三棱錐A′ABD＝a3－4××a2×a＝a3.