Question

已知函數(shù)是奇函數(shù)，又．
（1）求a，b，c的值；
（2）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性，并寫(xiě)出證明過(guò)程．

Answer 1

解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)．
∴f（-x）=-f（x），
，
∴對(duì)任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
恒成立
∴c=0（2分）
又，且
可得a=b=1（4分）
∴a=b=1，c=0（5分）
（2）
得x₁，x₂是（0，+∞）上任意兩實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂

=（7分）
當(dāng)x₁，x₂∈（0，1）時(shí)，x₁x₂-1＜0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴，即f（x₁）＞f（x₂）（9分）
當(dāng)x₁，x₂∈（1，+∞）時(shí)，x₁x₂-1＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴即f（x₁）＜f（x₂）（11分）
∴f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．（12分）
分析：（1）先利用奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x）求出c的值，再利用x=1和x=2的函數(shù)值列出關(guān)于a，b的方程組求出a，b即得；
（2）先任意取兩個(gè)變量，且界定其大小，再作差變形看符號(hào)，注意變形到等價(jià)且到位．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．