Question

已知橢圓（a＞b＞0）的兩準(zhǔn)線間距離為6，離心率．過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)P，作右準(zhǔn)線的垂線PH（H為垂足），并延長(zhǎng)PH到Q，使得．F₂為該橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．
（1）求橢圓方程；
（2）求證：；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究是否存在實(shí)數(shù)λ，使得點(diǎn)Q在同一個(gè)定圓上，若存在，求出λ的值及定圓方程；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的兩準(zhǔn)線間距離為6，離心率．可以找到關(guān)于a，b，c的3個(gè)等式，求出a，b，c，進(jìn)而求出橢圓方程．
（2）利用橢圓的第二定義，可知．再根據(jù)PH=3-x，就可求出．結(jié)論得證．
（3）先假設(shè)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)λ，使得點(diǎn)Q在同一個(gè)定圓上．再根據(jù)可找到P，Q，H點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，求λ．若能求出，則λ存在，若求不出，則λ不存在．
解答：解：（1）∵橢圓的兩準(zhǔn)線間距離為6，∴=6，∵離心率．∴=．
又∵a²=b²+c²，得a=，b=
∴橢圓方程為
（2）離心率，右準(zhǔn)線方程：x=3
∴，又∴．
（3）設(shè)Q的坐標(biāo)為（x，y），H（3，y），∴y=y．∵
∴3-x=λ（x-3），∴x=3λ+3-λx
又∵，∴，即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，
點(diǎn)Q在定圓上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，以及存在性問(wèn)題的解法，做題時(shí)要認(rèn)真分析．