Question

已知焦點(diǎn)在x軸上橢圓的長軸的端點(diǎn)分別為A，B，O為橢圓的中心，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，且，離心率e=．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）記橢圓的上頂點(diǎn)為M，直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，問：是否存在直線l，使點(diǎn)F恰好為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則A（-a，0），B（a，0），F(xiàn)（c，0）
∵
∴（c+a，0）•（c-a，0）=-1
∴c²-a²=-1
∵離心率e=，∴
∴a²=2，c²=1
∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l交橢圓與點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，且F恰好為△PQM的垂，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），因為M（0，1），F(xiàn)（1.0），所以k_PQ=1．
于是設(shè)直線l為y=x+m，由得3x²+4mx+2m²-2=0
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=
∵
∴x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0=0
∴2×-（m-1）+m²-m=0=0
∴m=-或m=1（舍去）
故直線l的方程為y=x-．
分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用，離心率e=，可求幾何量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l交橢圓與點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，且F恰好為△PQM的垂心，設(shè)直線l為y=x+m，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，及，即可求得直線l的方程．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．