Question

(本小題滿分12分)
如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面.
求證：

若問為何值時(shí)，四棱錐的體積最大？并求此時(shí)平面與平面夾角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析，（2）時(shí)，四棱錐的體積P-ABCD最大. 平面BPC與平面DPC夾角的余弦值為

解析試題分析：（1）先將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直：ABCD為矩形，故ABAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以AB平面PAD，再根據(jù)線面垂直證線線垂直：因?yàn)镻D平面PAD，所以ABPD
（2）求四棱錐體積，關(guān)鍵要作出高.這可利用面面垂直性質(zhì)定理：過P作AD的垂線，垂足為O，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以PO平面ABCD，下面用表示高及底面積：設(shè)，則，故四棱錐P-ABCD的體積為
故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，四棱錐的體積P-ABCD最大.
求二面角的余弦值，可利用空間向量求解，根據(jù)題意可建立空間坐標(biāo)系，分別求出平面BPC的法向量及
平面DPC的法向量，再利用向量數(shù)量積求夾角余弦值即可.
試題解析：（1）證明：ABCD為矩形，故ABAD，
又平面PAD平面ABCD
平面PAD平面ABCD=AD
所以AB平面PAD，因?yàn)镻D平面PAD，故ABPD
（2）解：過P作AD的垂線，垂足為O，過O作BC的垂線，垂足為G，連接PG.
故PO平面ABCD，BC平面POG,BCPG
在直角三角形BPC中，
設(shè)，則，故四棱錐P-ABCD的體積為

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3e/8/19szd3.png" style="vertical-align:middle;" />
故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，四棱錐的體積P-ABCD最大.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
故
設(shè)平面BPC的法向量，則由,得
解得
同理可求出平面DPC的法向量，從而平面BPC與平面DPC夾角的余弦值為

考點(diǎn)：面面垂直性質(zhì)定理，四棱錐體積，利用空間向量求二面角