Question

已知兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b滿足以下關(guān)系式：a²•sinθ+a•cosθ+c=0，b²•sinθ+b•cosθ+c=0，則連接A（a²，a）、B（b²，b）兩點(diǎn)的直線被圓心在原點(diǎn)的單位圓所截得的弦長(zhǎng)為

3

，則c=______．

Answer 1

由題知，實(shí)數(shù)a與b為一元二次方程x2•sinθ+x•cosθ-

π

4

=0的兩個(gè)解，
所以a+b=-

cosθ

sinθ

，ab=-

c

sinθ

，
又A（a²，a）、B（b²，b），
所以直線AB的方程為：y-a=

b-a

b2-a2

（x-a²），化簡(jiǎn)得x-（a+b）y+ab=0，
∵弦長(zhǎng)為

3

，圓的半徑r=1，∴圓心到直線AB的距離d=

1-( 3 2 )2

=

1

2

，
即

|ab|

1+(a+b)2

=

| c sinθ |

1+( cosθ sinθ )2

=

1

2

，
解得：c=±

1

2

．
故答案為：±

1

2