Question

已知兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足以下關(guān)系式：a²•sinθ+a•cosθ+c=0，b²•sinθ+b•cosθ+c=0，則連接A（a²，a）、B（b²，b）兩點(diǎn)的直線(xiàn)被圓心在原點(diǎn)的單位圓所截得的弦長(zhǎng)為

3

，則c=

±

1

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)實(shí)數(shù)a與b滿(mǎn)足的兩個(gè)關(guān)系式得到a與b是一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)解，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a+b和ab的值，利用A與B的坐標(biāo)寫(xiě)出直線(xiàn)AB的方程，然后由弦長(zhǎng)及單位圓的半徑，利用垂徑定理及勾股定理求出圓心到直線(xiàn)AB的距離，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出原點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離d，然d等于求出的距離列出關(guān)于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．

解答：解：由題知，實(shí)數(shù)a與b為一元二次方程x2•sinθ+x•cosθ-

π

4

=0的兩個(gè)解，
所以a+b=-

cosθ

sinθ

，ab=-

c

sinθ

，
又A（a²，a）、B（b²，b），
所以直線(xiàn)AB的方程為：y-a=

b-a

b2-a2

（x-a²），化簡(jiǎn)得x-（a+b）y+ab=0，
∵弦長(zhǎng)為

3

，圓的半徑r=1，∴圓心到直線(xiàn)AB的距離d=

1-( 3 2 )2

=

1

2

，
即

|ab|

1+(a+b)2

=

| c sinθ |

1+( cosθ sinθ )2

=

1

2

，
解得：c=±

1

2

．
故答案為：±

1

2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：韋達(dá)定理，勾股定理，直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程，以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，當(dāng)直線(xiàn)與圓相交時(shí)，常常利用弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．