Question

（理）已知等差數(shù)列的公差是，是該數(shù)列的前項(xiàng)和.
（1）試用表示，其中、均為正整數(shù)；
（2）利用（1）的結(jié)論求解：“已知，求”；
（3）若數(shù)列前項(xiàng)的和分別為，試將問題（1）推廣，探究相應(yīng)的結(jié)論. 若能證明，則給出你的證明并求解以下給出的問題；若無(wú)法證明，則請(qǐng)利用你的研究結(jié)論和另一種方法計(jì)算以下給出的問題，從而對(duì)你猜想的可靠性作出自己的評(píng)價(jià).問題：“已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，前項(xiàng)和，求數(shù)列的前2010項(xiàng)的和.”

Answer 1

解析（1）解：不妨設(shè)，則有


，
∴ .
（2）（文科）解法一：由條件，可得
得：，由（1）中結(jié)論得：
。
解法二：，則
。
（理）由條件，可得
得：
，
則.
（3）（理科）推廣的結(jié)論為：若公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則該數(shù)列的前項(xiàng)和為：
+                    
…………（）
對(duì)正整數(shù)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
1當(dāng)時(shí)，由問題（1）知，等式（）成立；
2假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即

，
當(dāng)時(shí)，




，
這表明對(duì)等式（）也成立；
根據(jù)1、2知，對(duì)一切正整數(shù)，（）式都成立.
利用以上結(jié)論，問題解法如下：
由，
則利用探究結(jié)論可得：.
不利用以上結(jié)論，解法如下：
由
得：；
代入①可得.
所以，.