Question

【題目】如圖所示，四棱錐的底面為矩形，已知， ，過(guò)底面對(duì)角線作與平行的平面交于.

（1）試判定點(diǎn)的位置，并加以證明；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1) 為的中點(diǎn)，見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析：（1）由平面得到，結(jié)合為的中點(diǎn)，即可得到答案；

（2）求出平面EAC的法向量和平面DAC的法向量，由此利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．

試題解析：

（1）為的中點(diǎn)，證明如下：

連接，因?yàn)?/span>平面，平面平面， 平面，所以，又為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn).

（2）連接，因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形，所以.因?yàn)?/span>，所以.同理，得，所以平面，以為原點(diǎn)， 為軸，過(guò)平行于的直線為軸，過(guò)平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）.

易知， ， ， ， ， ，

則， .

顯然， 是平面的一個(gè)法向量.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則，即，取，

則，

所以 ，

所以二面角的余弦值為.