Question

判斷下列函數的奇偶性
（1）f（x）=a  （a∈R）
（2）f（x）=（1+x）³-3（1+x²）+2
（3）f（x）=

x(1-x)，x＜0 x(1+x)，x＞0

Answer 1

分析：（1）是一個常函數，其一般是偶函數，當a=0時，函數既是奇函數又是偶函數，a≠0時，一定是偶函數；可以用定義證明；
（2）對函數解析式進行化簡，再研究f（x）與f（-x）的關系，證明f（x）+f（-x）=0即可得了其是奇函數；
（3）是一個分段函數，分段函數的奇偶性要分段來證，先研究x＜0時，f（x）與f（-x）的關系，再研究x＞0時，
f（x）與f（-x）的關系．探究知在每一段上都滿足f（-x）=-f（x），故可得出其性質．

解答：解：（1）由奇偶性定義當a=0時，f（x）=0既是奇函數又是偶函數，當a≠0時，f（x）=f（-x）=a，故是偶函數；
（2）f（x）=（1+x）³-3（1+x²）+2=x³+3x，由于f（x）+f（-x）=x³+3x+（-x）³+3（-x）=0，故f（x）=（1+x）³-3（1+x²）+2是奇函數．
（3）當x＜0時，-x＞0，f（-x）=-x（1-x）=-f（x）；當x＞0時，-x＜0，f（-x）=-x（1+x）=-f（x）；由上證知，
在定義域上總有f（-x）=-f（x）；故函數f（x）=

x(1-x)，x＜0 x(1+x)，x＞0

是奇函數．

點評：本題考查用函數奇偶性的定義證明函數的奇偶性，屬于基礎定義的直接應用．