Question

設f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值、最小值分別為M、m，集合A={x|f（x）≤x}，
（1）若A=[1，2]，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若M+m≠8a+2c，求證：|

b

a

|＜4；
（3）若A=2，a∈[2ⁿ，+∞）（n∈N₊），M-m的最小值記為g（n），估算使g（n）∈[10³，10⁴]的一切n的取值．（可以直接寫出你的結果，不必詳細說理）

Answer 1

分析：（1）由A=[1，2]，得到不等式f（x）≤x的解集為[1，2]，把f（x）的解析式代入不等式化簡后，得到一個關于x的不等式小于等于0，則不等式左邊等于0時，方程的兩個根為1和2，根據(jù)韋達定理即可求出a與b的值，又因為f（0）=2，代入即可求出c的值，即可確定出f（x）的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關系，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到最大值為f（-2），最小值為f（1），即可求出M與m的值；
（2）利用反證法證明，先假設所證的式子大于等于4，得到f（x）的對稱軸不屬于（-2，2），所以得到f（x）在（-2，2）單調(diào)，即可求出M+m的值為f（-2）+f（2），且等于8a+2c，與已知的M+m≠8a+2c矛盾，所以假設錯誤，原命題正確，得證；
（3）由A=2，得到ax²+（b-1）x+2=0有兩個等根，求出兩個等根，利用韋達定理由a表示出b和c，代入對稱軸即可求出對稱軸的范圍，得到對稱軸在區(qū)間（0，2），根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可表示出最大值M和最小值m，利用M-m即可得到g（n）的解析式，根據(jù)n為正整數(shù)即可估算出此時n的值．

解答：解：（1）∵A=[1，2]，
∴ax²+（b-1）x+2≤0的解集為[1，2]，
∴方程ax²+（b-1）x+2=0的兩個根x₁=1，x₂=2，
由韋達定理得到：a=1，b=-2，
又f（0）=2，所以c=2，
則f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴M=f（-2）=10，m=f（1）=1；
（2）若|

b

a

|≥4，則函數(shù)y=f（x）的對稱軸x=-

b

2a

∉(-2，2)，
∴f（x）在[-2，2]上單調(diào)，
∴M+m=f（-2）+f（2）=8a+2c，與已知矛盾，
∴|

b

a

|＜4；
（3）∵A=2，∴ax²+（b-1）x+2=0有兩個等根x₁=x₂=2，
∴c=4a，b=1-4a，f（x）=ax²+（1-4a）x+4a，其對稱軸x=

4a-1

2a

=2-

1

2a

∈(0，2)，(a≥2n)，∴M=f(-2)=16a-2，m=

8a-1

4a

，M-m=16a+

1

4a

-4，g(n)=2n+4+

1

2n+2

-4
滿足條件的n取值為6、7、8、9．

點評：此題考查學生靈活運用韋達定理解決數(shù)學問題的能力，要求學生掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及會利用反證法進行證明命題為真命題，是一道綜合題．