Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= sin2x+sinxcosx﹣
（1）求函數(shù)y=f（x）在[0， ]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移 個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求證：存在無窮多個互不相同的整數(shù)x0 ， 使得g（x0）＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= sin2x+sinxcosx﹣ = = =sin（2x﹣ ）；

因為2kπ≤2x﹣ ≤2kπ ，∴kπ ≤x≤kπ ，k∈Z，

所以函數(shù)y=f（x）在[0， ]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0， ]

（2）解：將函數(shù)向左平移 個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）=sinx，g（x0）＞ ．即sinx＞ ，

所以2kπ ＜x＜2kπ ，k∈Z，

則（2kπ ）﹣（2k ）= ＞1，所以對任意的整數(shù)k都存在x0∈（2kπ ，2kπ ），k∈Z，

即存在無窮多個互不相同的整數(shù)x0，使得g（x0）＞

【解析】（1）化簡三角函數(shù)式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間；（2）利用三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律得到函數(shù)y=g（x），然后證明．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦函數(shù)的單調(diào)性的相關知識，掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性：在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)，以及對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的理解，了解圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)的圖象．