Question

【題目】設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=x|x﹣a|﹣a．
（1）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若對任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a＞4時，求函數(shù)y=f（f（x）+a）零點的個數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）在原點有定義，f（x）為奇函數(shù)；

∴f（0）=﹣a=0；

∴a=0

（2）解：f（x）=x|x﹣a|﹣a；

∴①若a＜2，則x=2時，f（x）在[2，3]上取得最小值f（2）=2（2﹣a）﹣a=4﹣3a；

∴4﹣3a≥0，a≤ ；

∴ ；

②若2≤a≤3，則x=a時，f（x）取得最小值f（a）=﹣a；

﹣a＜0，不滿足f（x）≥0；

即這種情況不存在；

③若a＞3，則x=3時，f（x）取得最小值f（3）=3（a﹣3）﹣a=2a﹣9；

∴2a﹣9≥0，a ；

∴ ；

∴綜上得a的取值范圍為（﹣∞， ]∪[ ，+∞）

（3）解：f（x）+a=x|x﹣a|，令x|x﹣a|=t；

∴y=t|t﹣a|﹣a；

下面作出函數(shù)t=x|x﹣a|= 和函數(shù)y=t|t﹣a|﹣a= 的圖象：

函數(shù)y=t|t﹣a|﹣a的圖象可以認(rèn)為由函數(shù)y=t|t﹣a|的圖象向下平移a個單位得到；

顯然函數(shù)y=t|t﹣a|﹣a的左邊兩個零點t=t1，t=t2都在（0，a）區(qū)間上，而通過t=x|x﹣a|的圖象可看出：

∵ ，∴ ；

∴t1，t2分別有三個x和它對應(yīng)；

∴這時原函數(shù)有6個零點；

由t（t﹣a）﹣a=t2﹣ta﹣a=0可以解出 ；

∴ ；

顯然 ；

而（a2﹣2a）2﹣4（a2+4a）=a[a2（a﹣4）﹣16]；

顯然a2（a﹣4）﹣16可能大于0，可能等于0，可能小于0；

∴t3可能和它對應(yīng)的x個數(shù)為3，2，1；

∴此時原函數(shù)零點個數(shù)為3，2，或1；

∴原函數(shù)的零點個數(shù)為9個，8個，或7個

【解析】（1）根據(jù)f（0）=0即可求出a；（2）討論a的取值：a＜2，2≤a≤3，a＞3，三種情況，求出每種情況下的f（x）的最小值，讓最小值大于等于0從而求出a的取值范圍；（3）代入f（x），原函數(shù)變成y=f（x|x﹣a|），這時候換元t=x|x﹣a|，y=t|t﹣a|﹣a．然后畫出函數(shù)t=x|x﹣a|和函數(shù)y=t|t﹣a|﹣a的圖象，通過圖象找出有幾個t使得y=t|t﹣a|﹣a=0，并找出對應(yīng)的x的個數(shù)，從而找到原函數(shù)的零點個數(shù)．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．